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已知数列{an}满足a1=23，且对任意的正整数m，n都有am+n=am•an，若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn= ___ ．

分类: 作业答案 • 2022-06-24 20:28:39
问题描述：

已知数列{an}满足a1=

2
3
，且对任意的正整数m，n都有am+n=am•an，若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn= ___ ．

答

∵am+n=aman对任意的m，n都成立
∴an=an-1a1=an-2a12=…a1n=(

2
3
)n
故数列{an}以
2
3
为首项，
2
3
为公比的等比数列
由等比数列的前n项和公式可得Sn=
2
3
[1-(
2
3
)n]
1-
2
3
=2-
2n+1
3n

故答案为：2-
2n+1
3n

答案解析：由am+n=aman对任意的m，n都成立，利用迭代法可得，an＝an−1a1＝an−2a12＝…a1n＝(
2
3
)n，从而可得数列{an}以
2
3
为首项，
2
3
为公比的等比数列，代入等比数列的前n项和公式可求
考试点：等比数列的前n项和．

知识点：迭代法求通项公式是数列中的一个重点内容，解决本题的关键是要由已知条件求出数列是等比数列．

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