F1,F2为双曲线C:x²/a²-y²/b²=1,(a>0,b>0)的焦点,A,B分别为双曲线的左、右顶点,以F1,F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M,且满足∠MAB=30°,则该双曲

问题描述:

F1,F2为双曲线C:x²/a²-y²/b²=1,(a>0,b>0)的焦点,A,B分别为双曲线的左、右顶点,以F1,F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M,且满足∠MAB=30°,则该双曲线的离心率为?

以F1,F2为直径的圆的方程为:x^2+y^2=c^2
双曲线的渐近线方程为:y=±bx/a
由x^2+y^2=c^2与y=bx/a
又a^2+b^2=c^2得M(a,b)
直线AM的斜率为(b-0)/[a-(-a)]=tan30°得b/a=(2*根号3)/3
由离心率e=c/a=根号[1+(b^2)/(a^2)]=(根号21)/3x²+y²=c²是怎么得来的???以F1,F2为直径,其中F1(-c,0),F2(c,0),则圆心是F1F2的中点O,半径为c。所以以F1,F2为直径的圆的方程为:x^2+y^2=c^2