设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,过点F2的直线交双曲线右支于不同的两点M、N.若△MNF1为正三角形,则该双曲线的离心率为(  ) A.6 B.3 C.2 D.33

问题描述:

设双曲线

x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,过点F2的直线交双曲线右支于不同的两点M、N.若△MNF1为正三角形,则该双曲线的离心率为(  )
A.
6

B.
3

C.
2

D.
3
3

由题意可知,M,N关于x轴对称,
∴|NF2|=

b2
a
,|F1F2|=2c,
∵△MNF1为正三角形,
结合双曲线的定义,得到MF1=MF2+2a,
∴(
b2
a
+a
×2)×
3
2
=2c,
3
(c2+a2)=4ac,
两边同除以a2,得到
3
e2−4e+
3
=0
,解得e=
3
或e=
3
3
<1(舍去);
故选B.