数列an,bn满足an+1=an²/an+bn,bn+1=bn²/an+bn,a1=3,b1=1,(I)令C=an-bn,求Cn.
问题描述：
数列an,bn满足an+1=an²/an+bn,bn+1=bn²/an+bn,a1=3,b1=1,(I)令C=an-bn,求Cn.
（II)bn前n项和为Sn,证Sn＜3/2.（详）
答
由An,Bn的递推式,及Cn的定义式,可知C(n+1)=A(n+1)-B(n+1)=An^2/(An+Bn)-Bn^2/(An+Bn)=(An^2-Bn^2)/(An+Bn)=An-Bn=Cn.即Cn为常数列.又C1=A1-B1=2,所以Cn=2.由An,Bn的递推式,两式相除（已知An,Bn任意一项不为0）,得A(n...代入Bn的递推式，得B(n+1)=Bn/(3^(2^(n-1))+1)是怎么回事呢？Bn1/3^(n-1)。现在，我对左边进行放缩：(3+1)*(3^2+1)*(3*4+1)*(3^8+1)…*(3^(2^(n-2))+1)>3*3*3*3*…*3=3^(n-1)。（其实这一段是说左边的每一个因子都大于3。）那么就证完了。不等式成立。 那么Sn当然小于3/2。