已知定义在R上的函数f（x）和数列{an}满足下列条件：an=f（an-1）（n=2，3，4，…），f(an)−f(an−1)＝an−an−12(n＝2，3，4，…），若a1=30，a2=60，令bn=an+1-an（n∈N+）．（I）证明数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式；（II）设cn=log2bn，Sn=c1+c2+c3+…+cn，求使Sn取最大值时的n值．

答

（I）∵b_n=a_n+1-a_n，∴b_n+1=a_n+2-a_n+1，
∴

bn+1

bn

＝

an+2−an+1

an+1−an

＝

f(an+1)−f(an)

an+1−an

＝

an+1−an 2

an+1−an

＝

1

2

∴数列{b_n}是等比数列，
∵b₁=a₂-a₁=30∴bn＝15•(

1

2

)n−2．
（II）c_n=log₂15+2-n，
∵c_n+1-c_n=-1，
∴数列{c_n}是递减的等差数列，
令c_n＞0得n＜2+log₂15，∵log₂15∈（3，4），
∴2+log₂15∈（5，6）
∴数列{c_n}的前5项都是正的，第6项开始全部是负的，
∴n=5时，S_n取最大值．
答案解析：（1）根据b_n=a_n+1-a_n，进而表示出b_n+1=，求得

bn+1

bn

为定值，判断数列{b_n}是等比数列，公比为

1

2

，通过b₁=a₂-a₁求得数列的首项，进而根据等比数列的通项公式求得数列{b_n}的通项公式．
（2）把（1）求得的b_n代入c_n，进而可求得c_n+1-c_n结果为定值，且小于0可判断出数列{c_n}是递减的等差数列，令c_n＞0得n＜2+log₂15，求得数列{c_n}的前5项都是正的，第6项开始全部是负的，进而可判断n=5时，S_n取最大值．
考试点：等比关系的确定；等比数列的通项公式；数列的求和．
知识点：本题主要考查了等比关系的确定和等比数列的通项公式．涉及了数列和不等式问题的综合考查．