在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)中,F1,F2是它的两个焦点,P在椭圆上,若设 ∠F1PF2=θ,则△ABC的面积为S=b^2tan(θ/2),相应的,在双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)中,F
在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)中,F1,F2是它的两个焦点,P在椭圆上,若设 ∠F1PF2=θ,则△ABC的面积为S=b^2tan(θ/2),相应的,在双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)中,F1,F2是它的两个焦点,P在曲线上,若设∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积S的表达式是什么?并对两个命题加以证明
设∠F₁PF₂=α,椭圆S=b²tan(α/2).
椭圆中,对于焦点△F1PF2,设∠F1PF2=θ,PF1=m,PF2=n
则m+n=2a
在△F1PF2中,由余弦定理:
(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ
即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)
所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2
所以mn=2b^2/(1+cosθ)
S=(mnsinθ)/2.(正弦定理的三角形面积公式)
=b^2*sinθ/(1+cosθ)
=b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/2[cos(θ/2)]^2
=b^2*sin(θ/2)/cos(θ/2)
=b^2*tan(θ/2)
设∠F₁PF₂=α,双曲线S=b²cot(α/2).
双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1
因为P在双曲线上,由定义|PF₁-PF₂|=2a
在焦点三角形中,由余弦定理得
F₁F₂的平方=PF₁平方+PF₂平方-2PF₁PF₂cosα
=|PF₁-PF₂|平方+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
(2c)^2=(2a)^2+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
PF₁PF₂=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα)
=2b^2/(1-cosα)
三角形的面积公式=1/2PF₁PF₂sinα
=b^2sinα/(1-cosα)
=b^2cot(α/2)