F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点,P是椭圆上任意一点,从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为(  ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

问题描述:

F1,F2是椭圆

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的两焦点,P是椭圆上任意一点,从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为(  )
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线

由题意,延长F2P,与F1Q的延长线交于M点,连接QO,
∵MP是∠F1MB的平分线,且PQ⊥MF1
∴△F1MP中,|PF1|=|PM|且Q为MF1的中点
由三角形中位线定理,得|OQ|=

1
2
|MF2|=
1
2
(|MP|+|PF2|)
∵由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,(2a是椭圆的长轴)
可得|MP|+|PF2|=2a,
∴|OQ|=
1
2
(|MP|+|PF2|)=a,可得动点Q的轨迹方程为x2+y2=a2
∴点Q的轨迹为以原点为圆心半径为a的圆.
故选A.