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正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM为多少时，四边形ABCN的面积最大？

分类: 作业答案 • 2022-04-26 08:26:18
问题描述：

正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM为多少时，四边形ABCN的面积最大？

答

设BM=x，则MC=4-x，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC，
∴△ABM∽△MCN，则

AB
MC
=
BM
CN
，即
4
4−x
=
x
CN
，
解得：CN=
x(4−x)
4
，
∴S四边形ABCN=
1
2
×4×[4+
x(4−x)
4
]=-
1
2
x2+2x+8=-
1
2
（x-2）2+10，
∵0≤x≤4，
∴当x=2时，S四边形ABCN最大．
即当BM的长为2时，四边形ABCN的面积最大．

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