正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM为多少时，四边形ABCN的面积最大？
问题描述：
正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM为多少时，四边形ABCN的面积最大？
答
设BM=x，则MC=4-x，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC，
∴△ABM∽△MCN，则
=AB MC
，即BM CN
=4 4−x
，x CN
解得：CN=
，x(4−x) 4
∴S四边形ABCN=
×4×[4+1 2
]=-x(4−x) 4
x2+2x+8=-1 2
（x-2）2+10，1 2
∵0≤x≤4，
∴当x=2时，S四边形ABCN最大．
即当BM的长为2时，四边形ABCN的面积最大．
答案解析：设BM=x，则MC=-4x，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．
考试点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．
知识点：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质及二次函数的最值，证明△ABM∽△MCN，得出CN的表达式是解答本题的关键，注意配方法求二次函数最值的应用．