正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM⊥MN,设MB=x

问题描述:

正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM⊥MN,设MB=x
(1)证明:△ABM∽△MCN;
(2)若四边形ABCN的面积等于9,求x的值;
(3)当M点运动到什么位置时,以A、B、M为顶点的三角形和以A、M、N为顶点的三角形相似.

(1)证明:如右图所示,
∵AM⊥MN,
∴∠AMB+∠NMC=90°,
又∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠C=90°,
∴∠BAM+∠AMB=90°,
∴∠NMC=∠MAB,
∴△ABM∽△MCN;
(2)∵△ABM∽△MCN,
∴AB:BM=CM:CN,
∴CN=x(4-x)4,
∴S四边形ABCN=12×(4+x(4-x)4)×4=9,
解得x1=2+2,x2=2-2,
故x=2+2或x=2-2;
(3)∵△ABM∽△AMN,
∴AB:CM=AM:MN,又MB=x,
AM=42+x2,
MN=MC2+NC2=(4-x)2+[x(4-x)4]2
42+x2:(4-x)2+[x(4-x)4]2=44-X,
∴4:x=42+x2:(4-x)2+[x(4-x)4]2,
4(4-x)2+[x(4-x)4]2=x42+x2,
16[(4-x)2+x2(4-x)216]=x2(16+x2),
(4-x)2(16+x2)=x2(16+x2),
16-8x=0,
解得x=2.