已知数列{an}满足a(n+1)=an+n,a1=1,则an=

问题描述:

已知数列{an}满足a(n+1)=an+n,a1=1,则an=

an-a(n-1)=n-1
a(n-1)-a(n-2)=n-2
......
a2-a1=1
an-1=(n-1)+(n-2)+...+2+1=(n-1)n/2
an=1+[(n-1)n/2]

对n>1,a(n)=a(n-1)+(n-1)=a(n-2)+(n-2)+(n-1)=a(n-3)+(n-3)+(n-2)+(n-1)=......=a(1)+1+2+3+...+(n-2)+(n-1)=a(1)+n(n-1)/2=1+n(n-1)/2,从而,a(n)=1+n(n-1)/2,n>1.易知,此通项公式对n=1同样成立。

a(n+1)=an+n即a(n+1)-an=n所以n>=2时有an-a(n-1)=n-1.a2-a1=1以上n-1个式子相加得到an-a1=1+2+3+...+(n-1)=n*(n-1)/2an=n*(n-1)/2+1n=1时,a1=1*(1-1)/2+1=1,也满足上式,所以an=n*(n-1)/2+1...