设F1,F2是双曲线x2−y224=1的两个焦点,P是双曲线与椭圆x249+y224=1的一个公共点,则△PF1F2的面积等于_.

问题描述:

设F1,F2是双曲线x2

y2
24
=1的两个焦点,P是双曲线与椭圆
x2
49
+
y2
24
=1
的一个公共点,则△PF1F2的面积等于______.

由题意,|F1F2|=10,椭圆

x2
49
+
y2
24
=1与双曲线x2
y2
24
=1
共焦点
∵P是双曲线与椭圆
x2
49
+
y2
24
=1
的一个公共点,(不妨设是右支上一点)
∴|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=2,
∴|PF1|=8,|PF2|=6,
∵|F1F2|=10,
∴△PF1F2是直角三角形,
∴△PF1F2的面积等于
1
2
×6×8
=24.
故答案为:24.