已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,焦距为4根号3,双曲线与椭圆有公共焦点,且椭圆的长半轴比双曲线的实半轴长4,且两曲线的离心率之比为3:7,求椭圆与双曲线的标准方程.
问题描述：
已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,焦距为4根号3,双曲线与椭圆有公共焦点,且椭圆的长半轴比双曲线的实半轴长4,且两曲线的离心率之比为3:7,求椭圆与双曲线的标准方程.
答
椭圆焦距为4根号3
椭圆的c=2√3
双曲线与椭圆有公共焦点
双曲线的c'=2√3
且椭圆的长半轴比双曲线的实半轴长4
则a=a'+4
离心率之比是3:7
即 (c/a):(c'/a')=3:7
∴ a'/a=3:7
∴ a'=3,a=7
∴ 椭圆的b²=a²-c²=49-12=37
双曲线的b'²=c'²-a'²=12-9=3
∴ 椭圆方程是x²/49-y²/37=1
双曲线方程是x²/9-y²/3=1