实对称矩阵A满足A^2-5A+6E=0,求证：A正定
问题描述：
实对称矩阵A满足A^2-5A+6E=0,求证：A正定
答
∵A为实对称矩阵 ∴A'=A ∵A-5A+6E=0 ∴5A=A+6E 设任意向量x≠0 ∴x'(5A)x=x'(A+6E)x=x'(A)x+x'(6E)x=x'A'Ax+x'(6E×E)x=(Ac)'(Ax)+6(Ex)'(Ex) ∵向量(Ax)'·向量(Ax)≥0,向量(Ex)'·向量(Ex)＞0 ∴x'(5A)x＞0 ∴5A正定 即A正定