已知A是3阶实对称矩阵,满足A^4+2A^3+A^2+2A=0,且秩r(A)=2求矩阵A的全部特征值,并求秩r（A+E)
问题描述：
已知A是3阶实对称矩阵,满足A^4+2A^3+A^2+2A=0,且秩r(A)=2求矩阵A的全部特征值,并求秩r（A+E)
我能求出矩阵A的特征值为0或-2但是答案说由于实对称矩阵必可以相似对角化且秩r(A)=r(相似对角化符号）=2，所以A的特征值是0，-2，-2.请问为什么可以确定-2为二重特征值（注：相似对角化的符号不会打）
答
因为A可相似对角化
所以A与对角矩阵B相似, 且B的主对角线上的元素都是A的特征值
而相似矩阵的秩相同
所以对角矩阵B的秩也是为2
所以A的非零特征值的个数为2
故特征值为 0,-2,-2
总结: 可对角化的矩阵的秩 等于 矩阵非零特征值的个数