求曲线x=acos3t，y=asin3t（a＞0）绕直线y=x旋转所成的曲面的表面积．
问题描述：
求曲线x=acos3t，y=asin3t（a＞0）绕直线y=x旋转所成的曲面的表面积．
答
这是星形线，设所形成的旋转曲面为∑，∑的表面积为A
充分考虑到对称性（x=0，y=0，x=y，x=-y），有
表面积A是曲线在第一象限绕y=x旋转所得曲面面积的2倍
∴由旋转曲面的面积公式，得
A=2
2π
∫
3π 4
π 4
|x-y|
2
dt
x′2+y′2
=6
πa2[
2
(-cos3t+sin3t)sintcostt+
∫
π 2
π 4
(cos3t-sin3t)sintcostt]
∫
43 π
π 2
=6
πa2
2
=2-2(
)5
1
2
5
πa212
-3
2
5
答案解析：首先，利用对称性，将曲面的表面积转化为曲线在第一象限绕y=x旋转所得曲面面积的2倍；然后，利用定积分求解即可．
考试点：A:旋转体的体积及侧面积的计算 B:旋转曲面的方程及其图形
知识点：此题考查用定积分求旋转曲面面积的求法，需要注意的是此题旋转轴是y=x，理解定积分求面积，关键是要理解面积微元．