设曲线y=f（x），其中y=f（x）是可导函数，且f（x）＞0． 已知曲线y=f（x）与直线y=0，x=1及x=t（t＞1）所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边梯形面积值的πt倍，求该曲
问题描述：
设曲线y=f（x），其中y=f（x）是可导函数，且f（x）＞0．
已知曲线y=f（x）与直线y=0，x=1及x=t（t＞1）所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程．
答
∵曲边梯形的面积为：S＝
f(x)dx，
∫
t1
旋转体的体积为：V＝π
f2(x)dx，
∫
t1
则由题可知：V=πtS，
即：π
f2(x)dx＝πt
∫
t1
f(x)dx，
∫
t1
化简为：
f2(x)dx＝t
∫
t1
f(x)dx，
∫
t1
上式两边对t同时求导，得：
f2(t)＝
f(x)dx+tf(t)，①，
∫
t1
①式两边继续求导，得：
2f（t）f′（t）=f（t）+tf′（t）+f（t），
化简可得
（2f（t）-t）f′（t）=2f（t）
而：y=f（t）
继续化简得：
+dt dy
t＝1，1 2y
这是一阶线性微分方程，其中：P(y)＝
，Q(y)＝1，1 2y
解之得：t＝c•y−
+1 2
y，其中C为待定常数2 3
在①式中令t=1，则：f2（1）=0+f（1），
而f（x）＞0，
∴f（1）=1
代入t＝cy−
+1 2
y，得：c＝2 3
，1 3
∴t＝
(1 3
+2y)，1
y
所以该曲线方程为：2y+
−3x＝0．1
y