求曲线方程y=sinx,0≤ x≤π与y=0所围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积
问题描述：
求曲线方程y=sinx,0≤ x≤π与y=0所围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积
答案是Vy＝2π∫(0到π)x sin x dx
＝2π*(π/2)∫(0到π) sin x dx
＝(π^2)(-cos x)|(0到π)
＝2(π^2) 可我就是不明白这个是怎么来的?
答
你还是说绕哪个轴旋转的体积怎么算?如果是绕Y轴旋转,你可以先画出图形,是一个中心凹陷、中间凸起、边缘光滑过度的一个东东,它的体积有两种算法：一种是微薄片圆筒法求积,沿半径方向从0积到π,就是你写出来的这种解法...底面积为2πxdx，？？？如果是圆筒的话底面不是一个圆吗？？那应该是πr^2啊r=x的话应该是πx^2怎么你写的是底面积为2πxdx？？是啊，底面本来是个圆环，但因为是薄圆筒，故底面面积可按拉长了计算，拉长后相当于一个很窄的矩形，长为周长2πx，宽为dx。如果还不明白，根据圆环面积算：内径为x，外径为x+dx的圆环面积为π(x+dx)^2-πx^2=π(x^2+2xdx+(dx)^2-x^2)=2πxdx+π(dx)^2，(dx)^2为比dx更高阶的无穷小，故可略去，因此就有微圆环面积为2πxdx