求证:关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立的充要条件是0<a<4.

问题描述:

求证:关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立的充要条件是0<a<4.

证明:ax2-ax+1>0(a≠0)恒成立

a>0
△=a2−4a<0

⇔0<a<4.
即关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立的充要条件是0<a<4.
答案解析:一元二次不等式ax2-ax+1>0对一切实数x都成立,y=ax2-ax+1>0的图象在x轴上方,
a>0 
△<0
,由此能够求出a的取值范围,从而得到证明.
考试点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.
知识点:本题考查二次函数的图象和性质,解题时要抓住二次函数与x轴无交点的特点进行求解.主要考查了二次函数的恒成立问题.二次函数的恒成立问题分两类,一是大于0恒成立须满足开口向上,且判别式小于0,二是小于0恒成立须满足开口向下,且判别式小于0.