证明级数(1/2^n+1/n)发散

1/n称为调和级数,是发散级数,级数亦(1/2^n+1/n)发散
证法1:1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...

　　1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...

　　注意后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。
证法2:根据Newton的幂级数有：

　　ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...

　　于是：

　　1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...

　　代入x=1,2,...,n，就给出：

　　1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...

　　1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...

　　......

　　1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...

　　相加，就得到：

　　1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ......

　　后面那一串和都是收敛的，我们可以定义

　　1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r

　　ln(n+1)发散,则所证亦发散

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1/2^n 公比为1/2的几何级数收敛
1/n 调和级数发散
收敛级数与发散级数的和发散.
1/2^n与1/n的前n项部分和分别为sn tn,则sn收敛,tn发散
设wn=sn+tn,如果wn收敛,则tn=wn-sn收敛,矛盾,所以wn发散,即所证级数发散.