设函数f(x)＝x−1x，对任意x∈[1，+∞），f（2mx）+2mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A. (−∞，−12)B. (−12，0)C. (−12，12)D. (0，12)
问题描述：
设函数f(x)＝x−
，对任意x∈[1，+∞），f（2mx）+2mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）1 x
A. (−∞，−
)1 2
B. (−
，0)1 2
C. (−
，1 2
)1 2
D. (0，
) 1 2
答
∵函数f(x)＝x−
，f（2mx）+2mf（x）＜01 x
∴
＜08m2x2−(1+4m2) 2mx
①m＞0，x≥1，∴8m2x2-（1+4m2）＜0，∴x2＜
1+4m2
8m2
∵x≥1，∴对一切x≥1，不可能始终满足条件；
②m＜0，x≥1，∴8m2x2-（1+4m2）＞0，∴x2＞
1+4m2
8m2
∵x≥1，∴1＞
，∴m＜-1+4m2
8m2
或m＞1 2
1 2
∵m＜0，∴m＜-
1 2
故选A．
答案解析：根据函数解析式，整理可得
＜0，分类讨论，转化为解m的不等式，即可求得结论．8m2x2−(1+4m2) 2mx
考试点：函数恒成立问题．
知识点：本题考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．