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椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1（-c，0），点A（-a，0）和B（0，b）是椭圆的两个顶点，如果F1到直线AB的距离为b7，则椭圆的离心率e=______．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 22:38:28
问题描述：

椭圆

x2
a2
+
y2
b2
＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1（-c，0），点A（-a，0）和B（0，b）是椭圆的两个顶点，如果F1到直线AB的距离为
b
 7
，则椭圆的离心率e=______．

答

设F1到AB的垂足为D，
∵∠F1DA=∠BOA=90°，∠A为公共角
∴△ADF1∽△AOB
∴

AF1
AB
=
DF1
OB

∴
a−c
 a2+b2
=
b
 7
b
=
 7
7
；
∵b2=a2-c2
∴
(a−c)2
2a2−c2
=
1
7

化简得到5a2-14ac+8c2=0
解得a=2c 或a=
4c
5
（舍去），
∴e=
c
a
=
1
2
．
故答案为：
1
2
．
答案解析：设F1到AB的垂足为D，依题意可知，△ADF1∽△AOB进而判断出
AF1
AB
=
DF1
OB
，进而表示出左焦点F1到直线AB的距离化简整理求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．
考试点：椭圆的简单性质．
知识点：本题主要考查了椭圆的简单性质．解题的关键是利用左焦点F1到直线AB的距离建立等式求得答案．

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