设F1（-c，0）、F2（c，0）是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF1F2=5∠PF2F1，则椭圆的离心率为（ ）A. 32B. 63C. 22D. 23
问题描述：
设F1（-c，0）、F2（c，0）是椭圆
+x2 a2
=1（a＞b＞0）的两个焦点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF1F2=5∠PF2F1，则椭圆的离心率为（ ）y2 b2
A.
3
2
B.
6
3
C.
2
2
D.
2
3
答
已知实际为椭圆上一点P满足PF1⊥PF2，且∠PF1F2=5∠PF2F1。
在ΔPF1F2中，有
∵PF1⊥PF2， ∴sin∠F1PF2=1,
令此椭圆方程为
则由椭圆第一定义有 |PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c,
∴由(*)式有
又 ∵∠PF1F2=5∠PF2F1， ∴∠PF1F2=75°，∠PF2F1=15°，
∴
∴由(**)式有 ，∴ ，
即 。
答
∵P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，∴∠F1PF2=90°∵∠PF1F2=5∠PF2F1，∴∠PF1F2=15°，∠PF2F1=75°∴|PF1|=|F1F2|sin∠PF2F1=2c•sin75°，∴|PF2|=|F1F2|sin∠PF1F2=2c•sin15°，∴2a=|PF1|+|PF2|=2c•si...
答案解析：根据题意可知∠F1PF2=90°，∠PF1F2=5∠PF2F1，进而求得∠PF1F2和∠PF2F1，在Rt△PF1F2分别表示出|PF1|和|PF2|，进而根据椭圆的定义表示出a，进而求得a和c的关系，即椭圆的离心率．
考试点：椭圆的简单性质．
知识点：本题主要考查了椭圆的简单性质．涉及了圆的性质，解三角形问题等．考查了学生综合分析问题的能力．