已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=2n．（Ⅰ）证明：数列{an-2}为等比数列，并求出an；（Ⅱ）设bn=（2-n）（an-2），求{bn}的最大项．
问题描述：
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=2n．
（Ⅰ）证明：数列{an-2}为等比数列，并求出an；
（Ⅱ）设bn=（2-n）（an-2），求{bn}的最大项．
答
知识点：本题考查等比关系的确定以及用作差法求数列的最大项，属于数列中的中档题，有一定的综合性，要求答题者有较好的观察能力及转化化归的能力．
（Ⅰ）证明：由a1+s1=2a1=2得a1=1；
由an+Sn=2n得
an+1+Sn+1=2（n+1）
两式相减得2an+1-an=2，即2an+1-4=an-2，即an+1-2=
（an-2）1 2
是首项为a1-2=-1，公比为
的等比数列．故an-2=-(1 2
)n−1，故an=2-(1 2
)n−1，．1 2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn＝(2−n)•(−1)•(
)n−1＝(n−2)•(1 2
)n−11 2
由bn+1−bn＝
−n−1 2n
＝n−2 2n−1
＝n−1−2n+4 2n
≥0得n≤33−n 2n
由bn+1-bn＜0得n＞3，所以b1＜b2＜b3=b4＞b5＞…＞bn
故bn的最大项为b3＝b4＝
．1 4
答案解析：（Ⅰ）由题设条件进行变形，整理成等比数列的形式，得证．
（Ⅱ）求出bn=（2-n）（an-2）的通项公式，再作差比较相邻项的大小，即可找出最大项．
考试点：等比关系的确定．
知识点：本题考查等比关系的确定以及用作差法求数列的最大项，属于数列中的中档题，有一定的综合性，要求答题者有较好的观察能力及转化化归的能力．