已知数列{an}中，a1=2，a2=4，an+1=3an-2an-1（n≥2，n∈N*）． （Ⅰ）证明数列{an+1-an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式； （Ⅱ）记bn＝2(an−1)an，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn
问题描述：
已知数列{an}中，a1=2，a2=4，an+1=3an-2an-1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）证明数列{an+1-an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记bn＝
，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn＞2010的n的最小值． 2(an−1) an
答
（I）∵an+1=3an-2an-1（n≥2）
∴（an+1-an）=2（an-an-1）（n≥2）
∵a1=2，a2=4∴a2-a1=2≠0，∴an+1-an≠0
故数列{an+1-an}是公比为2的等比数列
∴an+1-an=（a2-a1）2n-1=2n
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）++（a2-a1）+a1
=2n-1+2n-2+2n-3++21+2
=
+2=2n（n≥2）2(1−2n−1) 1−2
又a1=2满足上式，
∴an=2n（n∈N*）
（II）由（I）知bn＝
＝2(1−2(an−1) an
)=2(1−1 an
)＝2−1 2n
1 2n−1
∴Sn＝2n−(1+
+1 21
++1 22
)1 2n−1
=2n−
1−
1 2n 1−
1 2
=2n−2(1−
)1 2n
=2n−2+
1 2n−1
由Sn＞2010得：2n−2+
＞2010，1 2n−1
即n+
＞1006，因为n为正整数，所以n的最小值为10061 2n