您的位置: 首页  >  作业答案  >  数学  >  设f(x)＝ex1+ax2，其中a为正实数．（1）当a＝43时，求f（x）的极值点；（2）若f（x）为[12， 32]上的单调函数，求a的取值范围．

设f(x)＝ex1+ax2，其中a为正实数．（1）当a＝43时，求f（x）的极值点；（2）若f（x）为[12， 32]上的单调函数，求a的取值范围．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 21:48:27
问题描述：

设f(x)＝

ex
1+ax2
，其中a为正实数．
（1）当a＝
4
3
时，求f（x）的极值点；
（2）若f（x）为[
1
2
， 
3
2
]上的单调函数，求a的取值范围．

答

∵f′(x)＝

(ax2−2ax+1)ex
(1+ax2)2
，
（1）当a＝
4
3
时，若f'（x）=0，
则4x2−8x+3＝0⇒x1＝
1
2
， x2＝
3
2
，
x (−∞，
1
2
)
1
2
 (
1
2
， 
3
2
)
3
2
 (
3
2
， +∞)
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增
∴x1＝
1
2
是极大值点，x2＝
3
2
是极小值点；　　　　
（2）记g（x）=ax2-2ax+1，则g（x）=a（x-1）2+（1-a），
∵f（x）为[
1
2
， 
3
2
]上的单调函数，
则f'（x）在[
1
2
， 
3
2
]上不变号，
∵
ex
(1+ax2)2
＞0，
∴g（x）≥0或g（x）≤0对x∈[
1
2
， 
3
2
]恒成立，
由g（1）≥0或g(
1
2
)≤0⇒0＜a≤1或a≥
4
3
，
∴a的取值范围是0＜a≤1或a≥
4
3
．
答案解析：（1）把a=
4
3
代入f(x)＝
ex
1+ax2
，对f（x）进行求导，令f′（x）=0，解出其极值点；
（2）已知f（x）上的为单调函数，可知f′（x）在[
1
2
， 
3
2
]恒大于等于0，或恒小于等于0，利用求出a的取值范围．
考试点：利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系．
知识点：此题主要考查利用导数求函数的单调性，解此题的关键是对f（x）能够正确求导，利用了转化的思想，是一道中档题；

相关推荐