已知函数f（x）=−2x2x+1．（1）用定义证明函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；（2）若x∈[1，2]，求函数f（x）的值域；（3）若g（x）=a2+f(x)，且当x∈[1，2]时g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
问题描述：
已知函数f（x）=−
．2x
2x+1
（1）用定义证明函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；
（2）若x∈[1，2]，求函数f（x）的值域；
（3）若g（x）=
+f(x)，且当x∈[1，2]时g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围． a 2
答
知识点：本题考查的是函数单调性的问题．在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、作差法、函数的最值以及恒成立问题．值得同学们体会和反思．
（1）设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=2x22x2+1-2x12x1+1＝2x2−2x1(2x1+1)(2x2+1)∵x1＜x2，∴2x2-2x1＞0又2x1+1＞0，2x2+1＞0，f（x1）-f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．（2）∵f（x...
答案解析：（1）根据函数单调性的定义，先在所给区间上任设两个数并确定好大小，然后通过作差法即可获得自变量对应函数值的大小关系，由定义即可获得问题的解答；
（2）结合（1）所证明的结论即可获得函数在[1，2]上的单调性，从而可以求的函数在[1，2]上的最值，进而问题即可获得解答；
（3）充分利用前两问答结论，即可获得g（x）=
+f(x)在[1，2]上的最值，结合恒成立的条件即可将问题转化为实数a的不等关系，求解即可获得问题的解答．a 2
考试点：函数单调性的判断与证明；函数的值域；函数最值的应用．
知识点：本题考查的是函数单调性的问题．在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、作差法、函数的最值以及恒成立问题．值得同学们体会和反思．