数列{an}是首项为0的等差数列,数列{bn}是首项为1的等比数列,设cn=an+bn,数列{cn}的前三项依次为1,1,2.(1)求数列{an},{bn}的通项公式.(2)求数列{cn}的前n项的和.

问题描述:

数列{an}是首项为0的等差数列,数列{bn}是首项为1的等比数列,设cn=an+bn,数列{cn}的前三项依次为1,1,2.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式.
(2)求数列{cn}的前n项的和.

(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,由题意得

d+q=1
2d+q2=2
,解得
d=1
q=0
(舍)
 或
d=−1
q=2

则an=1-n,bn=2n-1
(2)由(1)知,cn=an+bn=2n-1-n+1
∴数列{cn}的前n项的和
Sn=(20+21+…+2n-1)-(1+2+3+…+n)+n
=
20(1−2n)
1−2
n(1+n)
2
+n
=
n−n2
2
+2n−1

Sn
n−n2
2
+2n−1

答案解析:(1)根据题意cn=an+bn,数列{cn}的前三项依次为1,1,2,列出方程组求解公差和公比,进而写出数列的通项公式;
(2)根据cn的通项公式进行分组求和,转化成一个等比数列、等差数列、常数列求和,进而得到数列{cn}的前n项的和.
考试点:数列的求和;等差数列与等比数列的综合.
知识点:本题考查了数列的通项公式的求解,数列的求和问题,涉及了等差数列和等比数列的综合.数列在填空题中常涉及数列的基本性质,在解答题中经常考查数列及函数,数列及不等式等得综合应用,属中档题.