求椭圆x^2/4+y^2/6=1绕轴旋转所得旋转体的体积.
问题描述：
求椭圆x^2/4+y^2/6=1绕轴旋转所得旋转体的体积.
答
绕X轴的旋转体的体积：Vx=2∫(2,0)πy^2(x)dx=4π∫(2,0)(6-3x^2/2)dx
=16π；
绕Y轴的旋转体的体积：Vy=2∫(√6,0)πx^2(y)dy=4π∫(√6,0)(4-2y^2/3)dy
=16[√(2/3)]π
看来中心在(0,0)的椭圆绕x、y轴的旋转体体积当长短轴不等时是不相等的!
设椭圆方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1,绕X、Y的旋转体体积分别为：
Vx=4πab^2/3
Vy=4πa^2b/3
a≠b 时,Vx≠Vy //: 要注意这个结论!此外还有：Vx/Vy=b/a
当a=b=r 时,Vx=Vy=4πr^3/3
答案应该有两个：一个绕X轴、一个绕Y轴：你给的答案是绕Y轴的(Vy)，跟我的结果完全一样；但还有一个答案Vx=16π。因为题目没说绕那个轴，两个都得算！
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我还给出了一般的解，只要把a、b值代入即可！我给的最全了！没问题。