过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD,设PA=AB=a,求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小.

问题描述:

过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD,设PA=AB=a,求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小.

如图,考虑与平面PAB和平面PCD同时相交的第三平面ABCD,
其交线为AB和CD,而AB∥CD,
则平面PAB和平面PCD所成二面角的棱必与AB,CD平行.
在平面PAB内,过点P作PQ∥AB,
则PQ为平面PAB和平面PCD所成二面角的棱,
然后可证得,PA⊥PQ,PD⊥PQ,
∠APD为所求角,在Rt△APD中可求得,∠APD=45°.