设A、B均为n阶可逆矩阵,ABA=B^(-1),E为n的单位矩阵,证明R(E-AB)+R(E+AB）=n
问题描述：
设A、B均为n阶可逆矩阵,ABA=B^(-1),E为n的单位矩阵,证明R(E-AB)+R(E+AB）=n
答
对任意的属于E+AB值域的向量（可表示为y+ABy)，由条件ABAB＝E知(E-AB)(y+ABy)=0，于是有结论E+AB的值域是E-AB的核空间的一个子空间，因此r(E+AB)小于等于n-r(E-AB)，即R(E-AB)+R(E+AB)小于等于n。另一方面，由不等式r(A+B)小于等于r(A)+r(B)可知R(E-AB)+R(E+AB）大于等于r(2E)=n。综上有R(E-AB)+R(E+AB）=n
答
知识点:
1.若AB=0,则 r(A)+r(B)