已知关于x，y的二元二次方程x2+y2+2x-4y+k=0（k∈R）表示圆C．（1）求圆心C的坐标；（2）求实数k的取值范围；（3）是否存在实数k，使直线l：x-2y+4=0与圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点
问题描述：
已知关于x，y的二元二次方程x2+y2+2x-4y+k=0（k∈R）表示圆C．
（1）求圆心C的坐标；
（2）求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数k，使直线l：x-2y+4=0与圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点）？若存在，请求出k的值，若不存在，说明理由．
答
（1）由方程x2+y2+2x-4y+k=变形为（x+1）2+（y-2）2=5-k．
∴圆心C的坐标为（-1，2）；
（2）∵此方程表示圆，∴5-k＞0，解得k＜5，故k的取值范围是（-∞，5）；
（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立直线与圆可得5y2-16y+8+k=0，
∵直线与圆相交，∴△=162-20（8+k）＞0，化为k＜
．24 5
∴y1+y2=
，y1y2=16 5
．8+m 5
∴x1x2=（4-2y1）（4-2y2）=16-8（y1+y2）+4y1y2，
∵OM⊥ON，
∴x1x2+y1y2=5y1y2-8（y1+y2）+16=0，
∴8+k-
+16=0，8×16 5
解得k=
，满足k＜8 5
，24 5
故k=
．8 5