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已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF＝2FD，则C的离心率为 ___ ．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 17:04:30
问题描述：

已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且

BF
＝2
FD
，则C的离心率为 ___ ．

答

作业帮 如图，|BF|=

 b2+c2
=a，
作DD1⊥y轴于点D1，则由
BF
=2
FD
，得
|OF|
|DD1|
=
|BF|
|BD|
=
2
3
，所以，|DD1|=
3
2
|OF|=
3
2
c，
即xD=
3c
2
，由椭圆的第二定义得|FD|=e(
a2
c
-
3c
2
)=a-
3c2
2a

又由|BF|=2|FD|，得a=2a-
3c2
a
，a2=3c2，解得e=
c
a
=
 3
3
，
故答案为：
 3
3
．
答案解析：由椭圆的性质求出|BF|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D的横坐标，再由椭圆的第二定义求出|FD|的值，又由|BF|=2|FD|建立关于a、c的方程，解方程求出
c
a
 的值．
考试点：椭圆的简单性质．
知识点：本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．

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