设x,y∈R,则(3-4y-cosx)2+(4+3y+sinx)2的最小值为(  ) A.4 B.5 C.16 D.25

问题描述:

设x,y∈R,则(3-4y-cosx)2+(4+3y+sinx)2的最小值为(  )
A. 4
B. 5
C. 16
D. 25

∵(3-4y-cosx)2+(4+3y+sinx)2=(

[(3-4y)-cosx]2+[(4+3y)-(-sinx)]2
)2
类比两点间的距离公式|AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2

而且3(3-4y)+4(4+3y)-25=0,
∴所求的式子为直线3x+4y-25=0上的一点到圆x2+y2=1上的一点的距离的平方,
画图可知,过原点O(0,0)作3x+4y-25=0的垂线段,垂足为P,|OP|=
|3×0+4×0-25|
32+42
=5,
OP与圆的交点分别为M、N,
显然,(3-4y-cosx)2+(4+3y+sinx)2的最小值为|PM|2=(|OP|-|OM|)2=(|OP|-1)2=16.
故选C.