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已知函数f（x）=lnx，g(x)＝a/x，设F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当a=1时，求函数F（x）的单调区间；（Ⅱ）若以函数y=F（x）（0＜x≤3）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线斜率k≤1/2恒成

分类: 作业答案 • 2021-12-20 13:03:56

问题描述：

已知函数f（x）=lnx，g(x)＝

a

x

，设F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数F（x）的单调区间；
（Ⅱ）若以函数y=F（x）（0＜x≤3）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的最小值．

答

（Ⅰ）由已知a=1，可得F(x)＝f(x)+g(x)＝lnx+

1

x

，函数的定义域为（0，+∞），
则F′(x)＝

1

x

−

1

x2

＝

x−1

x2

由F′(x)＝

1

x

−

1

x2

＝

x−1

x2

＞0可得F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
F′(x)＝

1

x

−

1

x2

＝

x−1

x2

＜0得F（x）在（0，1）上单调递减；
（Ⅱ）由题意可知k＝F′(x0)＝

x0−a

x

20

≤

1

2

对任意0＜x₀≤3恒成立，
即有x0−

1

2

x

20

≤a对任意0＜x₀≤3恒成立，即(x0−

1

2

x

20

)max≤a，
令t＝x0−

1

2

x

20

＝−

1

2

(

x

20

−2x0)＝−

1

2

(x0−1)2+

1

2

≤

1

2

，
则a≥

1

2

，即实数a的最小值为

1

2

．