已知函数f(x)=lnx2-2ax/e,(a∈R,e为自然对数的底数). (Ⅰ)求函数f(x)的递增区间; (Ⅱ)当a=1时,过点P(0,t)(t∈R)作曲线y=f(x)的两条切线,设两切点为P1(x1,f(x1)),P

问题描述:

已知函数f(x)=lnx2-

2ax
e
,(a∈R,e为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数f(x)的递增区间;
(Ⅱ)当a=1时,过点P(0,t)(t∈R)作曲线y=f(x)的两条切线,设两切点为P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))(x1≠x2),求证:x1+x2=0.

(Ⅰ)函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
f′(x)=

2
x
-
2a
e
=
2(e−ax)
ex

当a=0时,由f′(x)=
2
x
≥0,解得x>0;
当a>0时,由f′(x)=
2(e−ax)
ex
>0,解得0<x<
e
a

当a<0时,由f′(x)=
2(e−ax)
ex
>0,解得x>0,或x<
e
a

所以当a=0时,函数f(x)的递增区间是(0,+∞);
当a>0时,函数f(x)的递增区间是(0,
e
a
);
当a<0时,函数f(x)的递增区间是(-∞,
e
a
)∪(0,+∞).
(Ⅱ)因为f′(x)=
2
x
-
2
e
=
2(e−x)
ex

所以以p1(x1,f(x1))为切点的切线的斜率为
2(e−x1)
ex1

以p2(x2,f(x2))为切点的切线的斜率为
2(e−x2)
ex2

又因为切线过点p(0,t),
所以t−lnx12+
2x1
e
2(e−x1)
ex1
(0−x1)
t−lnx22+
2x2
e
2(e−x2)
ex2
(0−x2)

解得,x12=et+2,x22=et+2.则x12=x22
由已知x1≠x2
所以,x1+x2=0.