已知x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线

分类: 作业答案 • 2023-01-20 17:19:02

问题描述：

已知x=1是函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．
（Ⅰ）求m与n的关系表达式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．

答

（Ⅰ）f′（x）=3mx²-6（m+1）x+n．
因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0．
所以n=3m+6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6=3m（x-1）[x-（1+

）]
当m＜0时，有1＞1+

，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：

由上表知，当m＜0时，f（x）在（-∞，1+

）单调递减，在（1+

，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
（Ⅲ）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x-1）[x-（1+

）]＞3m，
∵m＜0．∴（x-1）[x-1（1+

）]＜1．（*）
1⁰x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．
∴m＜0．
2⁰x≠1时∵x∈[-1，1]，∴-2≤x-1＜0．
（*）式化为

＜（x-1）-

x-1

．
令t=x-1，则t∈[-2，0），记g（t）=t-

，
则g（t）在区间[-2，0）是单调增函数．∴g（t）_min=g（-2）=-2-

-2

．
由（*）式恒成立，必有

＜-

⇒-

＜m，又m＜0．∴-

＜m＜0．
综上1⁰、2⁰知-

＜m＜0．