已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m<0.(Ⅰ)求m与n的关系表达式;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线

问题描述:

已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m<0.
(Ⅰ)求m与n的关系表达式;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.

(Ⅰ)f′(x)=3mx2-6(m+1)x+n.
因为x=1是f(x)的一个极值点,所以f'(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0.
所以n=3m+6.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)[x-(1+

2
m
)]
当m<0时,有1>1+
2
m
,当x变化时f(x)与f'(x)的变化如下表:

由上表知,当m<0时,f(x)在(-∞,1+
2
m
)单调递减,在(1+
2
m
,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.
(Ⅲ)由已知,得f′(x)>3m,即3m(x-1)[x-(1+
2
m
)]>3m,
∵m<0.∴(x-1)[x-1(1+
2
m
)]<1.(*)
10x=1时.(*)式化为0<1怛成立.
∴m<0.
20x≠1时∵x∈[-1,1],∴-2≤x-1<0.
(*)式化为
2
m
<(x-1)-
1
x-1

令t=x-1,则t∈[-2,0),记g(t)=t-
1
t

则g(t)在区间[-2,0)是单调增函数.∴g(t)min=g(-2)=-2-
1
-2
=-
3
2

由(*)式恒成立,必有
2
m
<-
3
2
⇒-
4
3
<m,又m<0.∴-
4
3
<m<0.
综上10、20知-
4
3
<m<0.