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已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且有limn→∞（a11+q-qn）=12，求首项a1的取值范围．

分类: 作业答案 • 2021-12-20 07:39:36

问题描述：

已知等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，且有

lim

n→∞

（

a1

1+q

-qⁿ）=

1

2

，求首项a₁的取值范围．

答

limn→∞（a11+q-qn）=12，∴limn→∞qn一定存在．∴0＜|q|＜1或q=1．当q=1时，a12-1=12，∴a1=3．当0＜|q|＜1时，由limn→∞（a11+q-qn）=12得a11+q=12，∴2a1-1=q．∴0＜|2a1-1|＜1．∴0＜a1＜1且a1≠12．综上，得...
答案解析：由

lim

n→∞

（

a1

1+q

-qⁿ）=

1

2

，我们可得

lim

n→∞

qⁿ一定存在，然后分0＜|q|＜1和q=1进行分类讨论，即可求出满足条件的首项a₁的取值范围．
考试点：等比数列的性质．
知识点：当

lim

n→∞

qⁿ一定存在时，一定要注意分类讨论，当q=1时，

lim

n→∞

qⁿ=1，当0＜|q|＜1时，

lim

n→∞

qⁿ=0．