双曲线kx2-y2=1,右焦点为F,斜率大于0的渐近线为l,l与右准线交于A,FA与左准线交于B,与双曲线左支交于C,若B为AC的中点,求双曲线方程.

问题描述:

双曲线kx2-y2=1,右焦点为F,斜率大于0的渐近线为l,l与右准线交于A,FA与左准线交于B,与双曲线左支交于C,若B为AC的中点,求双曲线方程.

由题意k>0,c=

1+
1
k

渐近线方程l为y=
k
x,
准线方程为x=±
1
kc
,于是A(
1
kc
k
kc
),
直线FA的方程为y=
k
(x-c)
1-kc2

于是B(-
1
kc
1+kc2
k
c(kc2-1)
).
由B是AC中点,则xC=2xB-xA=-
3
kc

yC=2yB-yA=
3+kc2
k
c(kc2-1)

将xC、yC代入方程kx2-y2=1,得
k2c4-10kc2+25=0.
解得k(1+
1
k
)=5,则k=4.
所以双曲线方程为:4x2-y2=1.