双曲线kx2-y2=1,右焦点为F,斜率大于0的渐近线为l,l与右准线交于A,FA与左准线交于B,与双曲线左支交于C,若B为AC的中点,求双曲线方程.
问题描述:
双曲线kx2-y2=1,右焦点为F,斜率大于0的渐近线为l,l与右准线交于A,FA与左准线交于B,与双曲线左支交于C,若B为AC的中点,求双曲线方程.
答
由题意k>0,c=
,
1+
1 k
渐近线方程l为y=
x,
k
准线方程为x=±
,于是A(1 kc
,1 kc
),
k
kc
直线FA的方程为y=
,
(x-c)
k
1-kc2
于是B(-
,1 kc
).1+kc2
c(kc2-1)
k
由B是AC中点,则xC=2xB-xA=-
,3 kc
yC=2yB-yA=
.3+kc2
c(kc2-1)
k
将xC、yC代入方程kx2-y2=1,得
k2c4-10kc2+25=0.
解得k(1+
)=5,则k=4.1 k
所以双曲线方程为:4x2-y2=1.