已知数列{an}满足an+an+1=2n+1(n∈N*),求证:数列{an}为等差数列的充要条件是a1=1.

问题描述:

已知数列{an}满足an+an+1=2n+1(n∈N*),求证:数列{an}为等差数列的充要条件是a1=1.

充分性:∵an+an+1=2n+1,
∴an+an+1=n+1+n,
即an+1-(n+1)=-(an-n),
若a1=1,则a2-(1+1)=-(a1-1)=0,
∴a2=2,以此类推得到an=n,
此时{an}为等差数列.
必要性:
∵an+an+1=2n+1,
∴an+2+an+1=2n+3,
两式相减得an+2-an=2,
若数列{an}为等差数列,则an+2-an=2d,
即2d=2,∴d=1.
则an+an+1=2an+1=2n+1,
∴an=n,即a1=1成立.
综上数列{an}为等差数列的充要条件是a1=1.