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已知数列{an}中，a1=2，a2=4，an+1=3an-2an-1（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）证明数列{an+1-an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn＝2(an−1)an，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn＞2010的n的最小值．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 16:32:31
问题描述：

已知数列{an}中，a1=2，a2=4，an+1=3an-2an-1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）证明数列{an+1-an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记bn＝

2(an−1)
an
，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn＞2010的n的最小值．

答

（I）∵an+1=3an-2an-1（n≥2）
∴（an+1-an）=2（an-an-1）（n≥2）
∵a1=2，a2=4∴a2-a1=2≠0，∴an+1-an≠0
故数列{an+1-an}是公比为2的等比数列
∴an+1-an=（a2-a1）2n-1=2n
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）++（a2-a1）+a1
=2n-1+2n-2+2n-3++21+2
=

2(1−2n−1)
1−2
+2=2n（n≥2）
又a1=2满足上式，
∴an=2n（n∈N*）
（II）由（I）知bn＝
2(an−1)
an
＝2(1−
1
an
)=2(1−
1
2n
)＝2−
1
2n−1

∴Sn＝2n−(1+
1
21
+
1
22
++
1
2n−1
)
=2n−
1−
1
2n
1−
1
2

=2n−2(1−
1
2n
)
=2n−2+
1
2n−1

由Sn＞2010得：2n−2+
1
2n−1
＞2010，
即n+
1
2n
＞1006，因为n为正整数，所以n的最小值为1006
答案解析：（1）欲证数列{an+1-an}是等比数列，利用等比数列的定义，只需证
an+1−an
an−an−1
 （n≥2）是个非零常数．
（2）利用（1）的结论求出bn，然后求出数列{bn}的前n项和为Sn，通过对不等式的分析，探讨使Sn＞2010的n的最小值．
考试点：数列递推式；数列的求和．

知识点：本题是个中档题，主要考查了由数列的递推式证明等比数列和求数列通项和前n项和的方法，同时考查对于不等式的分析能力．

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