已知点F是双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率e为（ ） A.2 B.2 C.3 D.1+2
问题描述：
已知点F是双曲线
−x2 a2
＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率e为（ ）y2 b2
A.
2
B. 2
C.
3
D. 1+
2
答
∵△ABE是直角三角形，∴∠AEB为直角
∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴
∴∠AEF=∠BEF=45°
∴|AF|=|EF|
∵F为左焦点，设其坐标为（-c，0）
∴|AF|=
b2 a
∴|EF|=a+c
∴
=a+cb2 a
∴c2-ac-2a2=0
∴e2-e-2=0
∵e＞1，
∴e=2
故选B．