如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥A1B,D为AC的中点. (Ⅰ)求证:B1C∥平面A1BD; (Ⅱ)求证:平面AB1C1⊥平面ABB1A1.
问题描述:
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥A1B,D为AC的中点.
(Ⅰ)求证:B1C∥平面A1BD;
(Ⅱ)求证:平面AB1C1⊥平面ABB1A1.
答
(Ⅰ)设AB1∩A1B=O,连接OD.
由于点O是AB1的中点,又D为AC的中点,所以OD∥B1C(5分)
而B1C⊄平面A1BD,OD⊂平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD(7分)
(Ⅱ)因为AB=BB1,所以是ABB1A1正方形,则A1B⊥AB1,
又A1B⊥AC1,且AC1,AB1⊂平面AB1C1,AC1∩AB1=A,所以A1B⊥平面AB1C1(12分)
而A1B⊂平面ABB1A1,所以平面AB1C1⊥平面ABB1A1(14分)