已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点． （1）求证：BC1∥平面CA1D； （2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B； （3）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=3，求三棱锥B1-A1DC的体积．
问题描述：
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．
（1）求证：BC1∥平面CA1D；
（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；
（3）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=
，求三棱锥B1-A1DC的体积．
3
答
证明：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE
∵四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点
又∵D是AB的中点，DE∥BC1，
又DE⊂面CA1D，BC1⊄面CA1D，
∴BC1∥平面CA1D；
（2）AC=BC，D是AB的中点，
∴AB⊥CD，
又∵AA1⊥面ABC，CD⊂面ABC，
∴AA1⊥CD，
∵AA1∩AB=A，
∴CD⊥面AA1B1B，
又∵CD⊂面CA1D，
∴平面CA1D⊥平面AA1B1B
（3）则由（2）知CD⊥面ABB1B，
∴三棱锥B1-A1DC底面B1A1D上的高就是CD=
，
3
又∵BD=1，BB1=
，
3
∴A1D=B1D=A1B1=2，SA1B1D=
，
3
∴三棱锥B1-A1DC的体积VB1−A1DC=VC−A1B1D=
•1 3
•
3
=1
3