如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,点D是AB的中点.求证: (1)AC⊥BC1; (2)AC1∥平面B1CD.

问题描述:

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,点D是AB的中点.求证:

(1)AC⊥BC1
(2)AC1∥平面B1CD.

证明:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∵CC1⊥平面ABC,
∴CC1⊥AC,
又AC⊥BC,BC∩CC1=C,
∴AC⊥平面BCC1B1
∴AC⊥BC1
(2)设BC1与B1C的交点为O,连接OD,BCC1B1为平行四边形,则O为B1C中点,又D是AB的中点,
∴OD是三角形ABC1的中位线,OD∥AC1
又∵AC1⊄平面B1CD,OD⊂平面B1CD,
∴AC1∥平面B1CD.