使不等式1/n+1+1/n+2+… +1/2n+1<a−20071/3对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为_.
问题描述:
使不等式
+1 n+1
+… +1 n+2
<a−20071 2n+1
对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为______. 1 3
答
设:an=
+1 n+1
+… +1 n+2
,1 2n+1
an+1=
+1 n+2
+… +1 n+3
,1 2n+3
an+1-an=
+1 2n+2
−1 2n+3
<0 1 n+1
所以{an}对于n为正整数时为单调递减数列,
使不等式
+1 n+1
+… +1 n+2
<a−20071 2n+1
对一切正整数n都成立的最小正整数a的值,1 3
就是n=1时,a>2007
+1 3
+1 2
=2008+1 3
成立的最小整数.即2009.1 6
故答案为:2009.