使不等式1/n+1+1/n+2+… +1/2n+1<a−20071/3对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为_.

问题描述:

使不等式

1
n+1
+
1
n+2
+…  +
1
2n+1
<a−2007
1
3
对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为______.

设:an=

1
n+1
+
1
n+2
+…  +
1
2n+1

an+1=
1
n+2
+
1
n+3
+…  +
1
2n+3

an+1-an=
1
2n+2
+
1
2n+3
1
n+1
<0
所以{an}对于n为正整数时为单调递减数列,
使不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…  +
1
2n+1
<a−2007
1
3
对一切正整数n都成立的最小正整数a的值,
就是n=1时,a>2007
1
3
+
1
2
+
1
3
=2008+
1
6
成立的最小整数.即2009.
故答案为:2009.