若不等式1n+1+1n+2+…+12n>m72对于大于1的一切正整数n都成立,则正整数m的最大值为( )A. 43B. 42C. 41D. 40
问题描述:
若不等式
+1 n+1
+…+1 n+2
>1 2n
对于大于1的一切正整数n都成立,则正整数m的最大值为( )m 72
A. 43
B. 42
C. 41
D. 40
答
n=2时,
+1 3
>1 4
,∴m<42.m 72
而m是正整数,所以取m=42.
下面用数学归纳法证明:
+1 n+1
+…+1 n+2
>1 2n
.41 72
(1)当n=2时,已证;
(2)假设当n=k时,不等式成立,即
+1 k+1
+…+1 k+2
>1 2k
.41 72
则当n=k+1时,有
+…+1 (k+1)+1
+1 2k
+1 2k+1
>1 2k+2
+41 72
+1 2k+1
−1 2k+2
1 k+1
因为
+1 2k+1
−1 2k+2
>0,1 k+1
所以
+…+1 (k+1)+1
+1 2k
+1 2k+1
>1 2k+2
.41 72
所以当n=k+1时不等式也成立.
由(1)(2)知,对一切正整数n,都有:
+1 n+1
+…+1 n+2
>1 2n
.41 72
故选C.
答案解析:直接利用数学归纳法的证明步骤,通过n=2,假设n=k时等式成立,证明n=k+1时等式也成立,即可证明结果.
考试点:反证法与放缩法.
知识点:本题考查数学归纳法证明猜想的步骤,注意证明n=k+1时必须用上假设,注意证明的方法,考查计算能力.