若不等式1n+1+1n+2+…+12n>m72对于大于1的一切正整数n都成立,则正整数m的最大值为(  )A. 43B. 42C. 41D. 40

问题描述:

若不等式

1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
m
72
对于大于1的一切正整数n都成立,则正整数m的最大值为(  )
A. 43
B. 42
C. 41
D. 40

n=2时,

1
3
+
1
4
m
72
,∴m<42.
而m是正整数,所以取m=42.
下面用数学归纳法证明:
1
n+1
+
1
n+2
+
…+
1
2n
41
72

(1)当n=2时,已证;
(2)假设当n=k时,不等式成立,即
1
k+1
+
1
k+2
+
…+
1
2k
41
72

则当n=k+1时,有
1
(k+1)+1
+…+
1
2k
+
1
2k+1
+
1
2k+2
41
72
+
1
2k+1
+
1
2k+2
1
k+1

因为
1
2k+1
+
1
2k+2
1
k+1
>0,
所以
1
(k+1)+1
+…+
1
2k
+
1
2k+1
+
1
2k+2
41
72

所以当n=k+1时不等式也成立.
由(1)(2)知,对一切正整数n,都有:
1
n+1
+
1
n+2
+
…+
1
2n
41
72

故选C.
答案解析:直接利用数学归纳法的证明步骤,通过n=2,假设n=k时等式成立,证明n=k+1时等式也成立,即可证明结果.
考试点:反证法与放缩法.
知识点:本题考查数学归纳法证明猜想的步骤,注意证明n=k+1时必须用上假设,注意证明的方法,考查计算能力.