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使不等式1n+1+1n+2+…  +12n+1＜a−200713对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为______．

分类: 作业答案 • 2022-01-02 12:43:30
问题描述：

使不等式

1
n+1
+
1
n+2
+…  +
1
2n+1
＜a−2007
1
3
对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为______．

答

设：an=

1
n+1
+
1
n+2
+…  +
1
2n+1
，
an+1=
1
n+2
+
1
n+3
+…  +
1
2n+3
，
an+1-an=
1
2n+2
+
1
2n+3
−
1
n+1
＜0
所以{an}对于n为正整数时为单调递减数列，
使不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…  +
1
2n+1
＜a−2007
1
3
对一切正整数n都成立的最小正整数a的值，
就是n=1时，a＞2007
1
3
+
1
2
+
1
3
=2008+
1
6
成立的最小整数．即2009．
故答案为：2009．
答案解析：不等式的左侧设为an，构造数列{an}通过证明数列是递减数列，求出使不等式成立的最小正整数a的值．
考试点：数列与不等式的综合；数列的极限．

知识点：本题是中档题，考查数列与不等式的关系，考查构造法解题，已经函数的单调性等有关知识．

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