使不等式1n+1+1n+2+… +12n+1<a−200713对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为______.
问题描述:
使不等式
+1 n+1
+… +1 n+2
<a−20071 2n+1
对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为______. 1 3
答
知识点:本题是中档题,考查数列与不等式的关系,考查构造法解题,已经函数的单调性等有关知识.
设:an=
+1 n+1
+… +1 n+2
,1 2n+1
an+1=
+1 n+2
+… +1 n+3
,1 2n+3
an+1-an=
+1 2n+2
−1 2n+3
<0 1 n+1
所以{an}对于n为正整数时为单调递减数列,
使不等式
+1 n+1
+… +1 n+2
<a−20071 2n+1
对一切正整数n都成立的最小正整数a的值,1 3
就是n=1时,a>2007
+1 3
+1 2
=2008+1 3
成立的最小整数.即2009.1 6
故答案为:2009.
答案解析:不等式的左侧设为an,构造数列{an}通过证明数列是递减数列,求出使不等式成立的最小正整数a的值.
考试点:数列与不等式的综合;数列的极限.
知识点:本题是中档题,考查数列与不等式的关系,考查构造法解题,已经函数的单调性等有关知识.