使不等式1n+1+1n+2+…  +12n+1<a−200713对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为______.

问题描述:

使不等式

1
n+1
+
1
n+2
+…  +
1
2n+1
<a−2007
1
3
对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为______.

设:an=

1
n+1
+
1
n+2
+…  +
1
2n+1

an+1=
1
n+2
+
1
n+3
+…  +
1
2n+3

an+1-an=
1
2n+2
+
1
2n+3
1
n+1
<0
所以{an}对于n为正整数时为单调递减数列,
使不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…  +
1
2n+1
<a−2007
1
3
对一切正整数n都成立的最小正整数a的值,
就是n=1时,a>2007
1
3
+
1
2
+
1
3
=2008+
1
6
成立的最小整数.即2009.
故答案为:2009.
答案解析:不等式的左侧设为an,构造数列{an}通过证明数列是递减数列,求出使不等式成立的最小正整数a的值.
考试点:数列与不等式的综合;数列的极限.

知识点:本题是中档题,考查数列与不等式的关系,考查构造法解题,已经函数的单调性等有关知识.