已知双曲线C;x2/4-y2=1,P是任意一点,求证,点P到双曲线的两条渐近线距离的乘积为一个常数
问题描述：
已知双曲线C;x2/4-y2=1,P是任意一点,求证,点P到双曲线的两条渐近线距离的乘积为一个常数
答
设P坐标为（2secx，tanx），渐近线方程：y=1/2x或者y=-1/2x
P到双曲线的渐近线y=1/2x距离为M=｜secx-tanx｜/(1+1/4)^(1/2)
P到双曲线的渐近线y=-1/2x距离为N=｜secx+tanx｜/(1+1/4)^(1/2)
点P到双曲线的两条渐近线距离的乘积为S=M*N=|(secx)^2-(tanx)^2|/(5/4)=4/5
答
x2/4-y2=1a^2=4,b^2=1a=±2,b=±1双曲线的渐近线为y=±x/2x±2y=0设P(a,b)P到两条渐近线的距离为|a*1+b*2|/√(1^2+2^2)=|a+2b|/√5|a*1+b*(-2)|/√(1^2+(-2)^2)=|a-2b|/√5距离的乘积为|a^2-4b^2|/5因为P是双曲线上...