已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a−y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值是(  )A. 125B. 19C. 15D. 13

问题描述:

已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线

x2
a
y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值是(  )
A.
1
25

B.
1
9

C.
1
5

D.
1
3

根据题意,抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,则点M到抛物线的准线x=-p2的距离也为5,即|1+p2|=5,解可得p=8;即抛物线的方程为y2=16x,易得m2=2×8=16,则m=4,即M的坐标为(1,4)双...
答案解析:根据抛物线的定义,可得点M到抛物线的准线x=-

p
2
的距离也为5,即即|1+
p
2
|=5,解可得p=8,可得抛物线的方程,进而可得M的坐标;根据双曲线的性质,可得A的坐标与其渐近线的方程,根据题意,双曲线的一条渐近线与直线AM平行,可得
4
1+
a
=
1
a
,解可得a的值,即可得答案.
考试点:圆锥曲线的综合.
知识点:本题综合考查双曲线与抛物线的性质,难度一般;需要牢记双曲线的渐近线方程、定点坐标等.